Abstract
這篇論文主要討論兩個問題；（一）一是小維數半單純李代數扭對稱不可約表現，（二）有關SL （F ）在有限體上的共軛類分類公式。有關小維數半單純李代數扭對不可約表現（Symplectic Irreducible Representat-ions of Semisimple Lie algebras）的探討，主要是依靠以下幾個基本性質：（一）利用論文中的定理A 描述不可李代數表現與權，特別是Domibant Weight 之間的一對一關係。（二）利用維數公式（Dimension Formula ）計算不可約表現之維數。（三）利用論文中的定理C ，判別不可約半單約李代數表現的李代數不變雙線性（I-nvariant Bilinear Forms ）是否存在，然後計算２（n□+ n□+ ………+n□），其中最高權入=n□α□+n□α□+……n□α□，看是為偶數還是奇數，如果是偶數則表現為對稱的，為奇數則表現為扭對稱。（四）藉由定理D 及不可約表現張量積仍為不可約的性質，我們可將半單純的計算簡化到只需計算單純李代數表現，這將減少許多不必要的計算。（五）因半單純李代數為單純李代數的直和，將計算出的單純李代數組合，就可得出半單純李代數不可約表現。另外關於SL□（F） 在有限體F 上的共軛類分類公式的結果，主要的討論的過程，是以矩陣的運算及二元式（Quadratic Forms ）的性質為最主要精神，這項工作的完成使得我們對有限體，特別是SL 這類的有限體的性質，有較為深刻的了解。定理F 就是將此一結果呈現在讀者面前。由於代數學的博大深精，本人謹將此兩個的結果，作為吾人碩士班的畢業論文，其餘的結果，由於時間的限制，論證思路尚未稱完整，都未列文中畢竟「學海無涯，唯勤是岸」。