Abstract
我們在這篇論文中, 主要討論巴萊斯麥爾數列的存在性及其性質. 假設J是一個連續可微的實數值算子, c為一個實數, 如果{u_n}為一個數列滿足: J(u_n)趨近到c且J'(u_n)趨 近到0當n趨近到無限大, 則此數列稱為一個J在c點的巴萊斯麥爾數列(Palais-Smale Sequence). 如果J在c點的所有巴萊斯麥爾數列皆有收歛子數列時, 我們稱J有巴萊斯麥爾條件(Palais-Smale Condition), 在這種情形下, 我們考慮方程J'(u)=0時, 則此收歛點u (即為J的特徵點)就是方程的解. 在第二節中, 我們假設p為一個路徑, p(0)=0, p(1)=e, 如果J(p(t))在t屬於[0,1]區間時的最大值不會出現在端點t=0和t=1時, 則J有巴萊斯麥爾數列, 因此如果J還有巴萊斯麥爾條件, 我們就可以得到方程J'(u)=0解的存在性了. 第三節中, 我們考慮{u_n}為I的一個巴萊斯麥爾數列,I'(u)=-(Laplacian u)+u-b|u|^(p-1)u, b(x)趨近於(b*)>0當|x|趨近於於無限大, (I*)'(v)=-(Laplacian v)+v-(b*)|v|^(p-1)v,且2<p+1<2*, 則我們可以把{u_n}分解為二個部份, 這就是巴萊斯麥爾數列的分解定理(Decomposition Lemma).我們得到u_n會趨近於二個部份, 第一個部份是函數(u*), (u*)滿足I'(u*)=0, 第二個部份是m個(有限個)函數的和:w_1+w_2+...+w_m, 其中每一個w_i皆滿足(I*)'(w_i)=0. 我們在第二節中, 用了二個不同的方法來證明定理, 一個是Ekeland's Principle, 一個是形變定理(DeformationLemma), 第三節則使用了Vitali 定理和五個lemmas 來證明分解定理.我們在這篇論文中, 主要討論巴萊斯麥爾數列的存在性及其性質. 假設J是一個連續可微的實數值算子, c為一個實數, 如果{u_n}為一個數列滿足: J(u_n)趨近到c且J'(u_n)趨 近到0當n趨近到無限大, 則此數列稱為一個J在c點的巴萊斯麥爾數列(Palais-Smale Sequence). 如果J在c點的所有巴萊斯麥爾數列皆有收歛子數列時, 我們稱J有巴萊斯麥爾條件(Palais-Smale Condition), 在這種情形下, 我們考慮方程J'(u)=0時, 則此收歛點u (即為J的特徵點)就是方程的解. 在第二節中, 我們假設p為一個路徑, p(0)=0, p(1)=e, 如果J(p(t))在t屬於[0,1]區間時的最大值不會出現在端點t=0和t=1時, 則J有巴萊斯麥爾數列, 因此如果J還有巴萊斯麥爾條件, 我們就可以得到方程J'(u)=0解的存在性了. 第三節中, 我們考慮{u_n}為I的一個巴萊斯麥爾數列,I'(u)=-(Laplacian u)+u-b|u|^(p-1)u, b(x)趨近於(b*)>0當|x|趨近於於無限大, (I*)'(v)=-(Laplacian v)+v-(b*)|v|^(p-1)v,且2<p+1<2*, 則我們可以把{u_n}分解為二個部份, 這就是巴萊斯麥爾數列的分解定理(Decomposition Lemma).我們得到u_n會趨近於二個部份, 第一個部份是函數(u*), (u*)滿足I'(u*)=0, 第二個部份是m個(有限個)函數的和:w_1+w_2+...+w_m, 其中每一個w_i皆滿足(I*)'(w_i)=0. 我們在第二節中, 用了二個不同的方法來證明定理, 一個是Ekeland's Principle, 一個是形變定理(DeformationLemma), 第三節則使用了Vitali 定理和五個lemmas 來證明分解定理.