Abstract
本文討論有關於布朗運動的打結現象。首先我們定義X=X(W)是布朗運動路徑Ｗ的一個ｋ重交點（POINT OF MULTIPLICITY K）假如路徑ｗ在（０，∞）時間內至少通過ｘ點ｋ次，亦即至少存在ｋ個不同的時間ｔ1 ｔ2....ｔk ≡（０，∞） 使得 ｗ（ｔ2）＝ｗ（ｔ2）＝．．＝ｗ（ｔk)＝ｘ若ｘ被通過不可數次，我們稱ｘ是路徑ｗ的一個不可數重交點（POINT OF MULTIPLICITY C ）；若ｘ是集合Ａ裡的點，我們說集合Ａ包含路徑ｗ的ｋ重交點。由DVORETZKY, ERDOS與KAKUTANI的研究結果我們已經知道了R1裡的任何一點都是布朗運動的不可數重交點；平面布朗運動在R2上有任意ｋ重交點與不可數重交點；三維布朗運動只有２重交點而無２重以上交點；四維及四維以上的布朗運動連２重交點都沒有了。NILS TONGRING 發現了若是一平面集合相對於函數GK(S)=(LOG 1/S)K有正的容度（CAPACITY）的話，則它含有平面布朗運動路徑ｋ重交點的機率為１；若三維上的集合相對於函數G(S)=1/S2 有正的容度，則它含有三維布朗運動２重交點的機率為正的。但什麼樣的集合才會有平面布朗運動的不可數重交點呢？直覺上我們認為該集合的點分佈需要有夠大的“密度”才行。我們發現只要一個平面上的緊緻集合Ｄ中的每一點ｚ對某上升至無窮大的序列{m(z,n)}n ≧1 存在數ＴZ.K 使得相對於函數GK(S)=(LOG1/S)K 的容度：CK[B(Z,1/6)∩M(Z,N)(D-Z)] ≧ＴZ.K, K≡A， 則Ｄ含有平面布朗運動不可數重交點的機率為１。由此，平面上開集（OPEN SET），曲線與一維及二維的CANTOR SET都含有平面布朗運動的不可數重交點，更甚者若希朗運動是從集合Ｄ裡頭的點出發的話，則它在任意短的時間內就已經經過集合Ｄ內的某一點不可數次了！