Abstract
當α＞０，Aronszjn，Smith和 Stein給予嚴格定義αpα（Ｓ）空間（〔１〕中對ｐ＝２，〔６〕中對ｐ為任意），由這些定義之結果，把ｆ αpα（Ｓ）給限制至１Ｒn之子空間ＩＲm是有定義的，這些限制的問題，部分地被底下之文章解決：（ａ）當ｐ≧而α－１，在Gagliardo〔４〕；（ｂ）當ｐ＝２而α任意，在Aronszin和Smith〔１〕，然而，這個問題，在Stein〔６〕的論中，當１＜ｐ＜∞而且α為任意之情況下，被完全地解決，其結果如下： ｎ－ｍ（ａ）若β＝α－───＞０且１＜ｐ＜∞，則限制映射Ｒ為連續地從αpα（ＩＲn ｐ）到ＸP,Pβ（ＩＲm）。（ｂ）反之，存在一線性擴張Σ，定義在ＩＲm上之函數到ＩＲn上之函數，且Ｒ（Σ（ｇ））＝ｇ，對每個Ｇ Λp,pβ（ＩＲm），當β＞０且１＜Ｐ＜∞。現今，我們問：把ＩＲm換成Ｔm，Ｔm＝｛ｘ ＩＲn；ｘm+1＝......＝ｘn＝０，－ １ １－─＜ｘi≦─若１≦ｉ≦ｍ｝，則我們可能有Stein〔６〕的結果嗎﹖在此篇論中， ２ ２我們先討論αpα（Ｓ）和Λp,pβ（Ｔm）空間，然後將肯定地回答說有相同之結果（ Ｓ＝Ｔn-1×ＩＲ1）。此篇論文其內容如下：第一節處理αpα（Ｓ）空間，其主要結困為定理1.7和引理1.8，為了證明這些結果，我們在第二節中引進主值奇異積分、第三節中，我們作一摘要性地回顧Taibleson 〔９〕所造出的Λp1,pα（Ｔn）空間，在第四節中，我們證明了從αpα（Ｓ）至Ｌp（Ｔm）之限制結果，第五節中，將引用第一至第四節之結果，來證明類似Stein〔６〕之結果，如下： ｎ－ｍ（ａ）令β＝α－───＞０，１＜ｐ＜∞，若ｆ αpα（Ｓ），則Ｒ（ｆ） Λp ｐ,pβ（Ｔm），且映射ｆ→Ｒ（ｆ）滿足：（ｂ）存在一從Λp,pβ（Ｔm）至αpα（Ｓ）之連續擴張Σ，且對每一個ｇ Λp,p ｎ－ｍβ（Ｔm），Ｒ（Σ（ｇ））＝ｇ，當β＞０，︱＜Ｐ＜∞，其中β＝───。 ｐ