Abstract
在本文中，我們將發展出一套能在平行計算機上求解RICCATI 方程式（-XNS+XA+A*X+K=0)的穩定數值方法。首先我們用一套疊代方法和一種直接法把HAMILTONIAN 矩陣┌ A N ┐ ┌ ◥ █ ┐│ * │ │ ││ K -A │ 化成J-上三角的形狀 （ │ ○ ◣ │└ ┘ └ ┘其中Ｋ，Ｎ為對稱矩陣，而且在疊代法和直接法的過程中。HAMILTONIAN 的結構，可以被SYMPLECTIC的轉換所保持；當HAMILTONIAN 矩陣收斂時，根據所對應的不變子空間ARICCATI方程式的正定解Ｘ就可被代換的過程所解出．這裡的疊代法與非對稱矩陣的JACOBI-LIKE 計算方法類似。我們利用兩種SYMPLECTICUNITARY 的基本旋轉矩陣，消去J-下三角的元素並保持HAMILTONIAN 矩陣的結構；傳統的JACOBI-LIKE 計算方法在處理非正則矩陣時，尤其是非常不正則的矩陣時，其收斂的行為並不十分令人滿意，因此我們也提出了一種加速的技巧，在每一步疊代步驟之前，把非正則矩陣儘量正則化，可使得傳統的JACOBI-LIKE方法收斂加快，並可利用於求解特徵值問題。在疊代過程中，當J-下三角的元素夠小時，可視為J-上三角形的一個小擾動，我們用一種直接法來加速收斂，當疊代法充分收斂時，直接法的收斂速度至少為二次收斂；同時HAMILTONIAN 的結構也被保持。在疊代法和直接法的過程中，我們也導出了一些特殊的代換公式，使得不變子空間的近似值可以被一種代換法同時算出。RICCATI 方程的正定解也可同時被代換法所解出，並保持其對稱而且正定的特性。以上這些方法都可在一個二維的陣列處理器上操作，而且每一步只需要Ｏ（ｎ）的計算時間。在本文中，所有的計算動作都是用PC AT 來模擬，在文中我們給了一些例子來說明計算的過程，由例子中可發現：直接法在疊代法收斂的時候，效果是相當不錯的：但是如果疊代法不收斂時，則直接法並不是很有用，此時如果能把加速的技巧（把矩陣正則化）應用上去，再加上直接法，那麼我們將會得到相當不錯的結果。