Abstract
古典的二階橢圓線性偏微分方程式的邊界值問題,若是定義域的邊界夠平 滑及其所描述的邊界值是連續函數(有界的).則其解存在且唯一.那麼對於 無界的邊界值,Dirichlet問題又是如何?其解是否存在?在這篇論文中,將 討論平面上的二階嚴格橢圓線性偏微分方程式其邊界值為無窮大的笛利伽 問題;此問題將分為兩部分來討論:問題(一) 邊界值無窮大的邊界之 Hausdorff測度不為零的情形.問題(二) 邊界值夠平滑,但邊界值在邊界 的某一點為無窮大.在這篇論文中,有兩個結論: 1. 問題(一)沒有二次微 分且連續的解. 2. 若問題(二)邊界值是Lebesgue可積分函數,則問題( 二)有解.在處理問題(一)時,首先考慮特別的例子,即此偏微分方程式是 Laplace方程式,定義域為一圓.若假設其解存在,則可由maximum principle而能証明出矛盾.而對一般的二階橢圓線性偏微分方程式,可將 其係數擴展到定義域外的圓,圓心落在邊界;依此,可造一在圓上的二階橢 圓線性偏微分方程且此偏微分方程在圓上的子集(定義域外的子集且包含 邊界)為一Laplace算子.若假設解存在,則可造出定義在此圓上的函數,滿 足新的偏微分方程,在子集的邊界的值為無窮大,但此為矛盾,故沒有二次 微分且連續的解.對問題(二)可造夠平滑的函數數列(A)去逼近所要的解, 亦即考慮一逼近所給定的邊界函數的函數數列(B),給定Dirichlet問題其 邊界函數屬於(B)則函數數列(A)可造得出來.証明收斂性:因為邊界函數為 一可積函數可用一積分等式及哈內克不等式和 maximum principle證得( A)是一收歛函數數列.證明連續性:與上述的方法類似可證出所收歛至的函 數是有界的,如此,再利用邊界的平滑性造出 barrier function, 而能證 明連續性.