Abstract
在這篇論文裡, 我們主要是在討論下列Sturm-Liouville 方程式:(1) ｛y"＋(λ-q(x))y=0y( )＝y( )＝0的固有值大小與質量分布函數q(x)的變化關係。對於方程式(1) 的第n 個固有值λ當質量分布函數q(x)變化時, λ 即成為一個實值函數。在適當地對質量分布函數q(x)予以限制下, 如λ ＞mak q(x) 等, 本文中分別討論了實值函數λ (q)的極大、極小值問題及實值函數λ (q)-λ(q)的極小值問題。並且找出當極值發生時，質量函數q(x)的確切長相。以下則是幾個主要的結果:令E(h,H,M,l)＝｛q(x):0 q(x) H＜∞,∫ q(x)dx＝M｝及E(h,H,M,l)＝｛q(x)﹋E(h,H,M,l）:0＜H-h＜( ) ｝。定理3.1 實值函數λ (q)在E(h,H,M,l)中, 當密度函數為q (x) 取得最大值, 而在E(h,H,M,l)中, 當密度函數為q (x)取得最小值。就下列兩個E(h,H,M,l)中的閉子集E ＝｛q(x)﹋E(h,H,M,l):q(x) 具對稱性｝及E ＝｛q(x)﹋E(h,H,M,l):q(x) 在靠近兩端處為常數取值, 並且取值的定義域區間長度不小於π╱2 ｝進行討論得到下列主要結果:定理4.1 當質量常數M 滿足M 則實值函數D｜q｜分別在E 與E 上取得極小值的密度函數均為q。(X)。