Abstract
本論文提出一個可以結合任意正交多項式於一體之廣義正交多項式，藉以代表各種正交多項式應用於解決系統科學上之方法。文中關鍵性欴觀念在於應用正交多項式與冪次級數之間的關係，推導出各種運算矩陣，並將它們應用到解動態系統問題上。由於這些運算矩陣能夠概括所有的正交多項式，因此可充分地利用每個正交多項式之不同特性，經過適當的選擇與轉換後，應用到工程科學問題上，以期達到簡化演算策略，縮減運算時間和提高結果正確性的要求。本文首先倡導廣義正交多項式積分運算矩陣。由於它型式簡單擁有任一正交多項式一特性，對於動態系統之分析、參數鑑別、模式簡化、控制系統設計及最適化等問題在計算上都具有其遞迴性，不但適於電腦程式化設計，同時在合理的運算時間內就可得到所希望的準確度。至於兩點邊界值問題之分析，則因它型式的獨特，使得上述問題的處理有如起始狀態方程式之分析一般，簡單、迅速且正確。此外，廣義正交多項式積分運算矩陣之應用亦可推展至分數微積分學上，提供各種正交多項式求解拉普拉斯反轉換問題一條捷徑，使得廣義正交多項式積分運算矩陣的推衍對於系統科學上問題的探討有著深遠的影響。其次，本論文融合正交多項式的觀念，提出以冪次級數微分運算矩陣求解參數鑑別之問題。至於泛涵微分方程式之分析，本論文提供了只含對角線數值的廣義正交多項式伸縮運算矩陣，使得此類問題的理如同起始值問題一樣簡便。最後，本文提出廣義正交多項式遞移運算矩陣，將描述時前或時延系統之微分方程式轉換成一組聯立式數式，而大大地簡化了問題的複雜性。