Abstract
本篇論文中我們探討一個橢圓型偏微分方程廣義解的存在性問題。此問題｜p ｜表示如下:(1) 2H＋ku ＝0於B 中,?P?(2) u 0於B 中, u＝0於 B上,其中, B 為 中的單位圓, 2H＝diu Tu為平均曲率算子, Tu為曲面u 的單位切向量。此方程式稱作廣義的毛細方程式, 所謂的廣義解即把問題?P ?可能存在多值函數解也列入考慮。如此，我們可將問題?P ?視作一非線性的特徵值問題，相對而言，即考慮ｋ值變動時問題?P ?之非零解的存在性。當q＝1時, 這問題已有許多人做過了, 此即有名的毛細曲面方程式, 其中k 為毛細常數。P.Concus及R.Finn曾證出許多有趣的結果。其中，最值得一提的是這些解通常是多值的，即它們擁有一振盪的軌跡！問題?P ?的解有一非常特別的性質，即它的解一定是徑向解（radial solution ），也就是說ｕ只與其所在位置到其對稱軸之間的距離ｒ有關。這是H.C.Wente 所證明出的結果。我們引用Concus及Finn的方法及Atkinson論文中的概念。考慮解ｕ（ｒ）的反函數ｒ（ｕ）並將?P ?中方程式部分轉化成一個二階常微分方程系統，並引進一些比較曲面（comparsion surface）來作估計, 從而得到問題?P ?的單值解及廣義解的存在性。至於一些相關的物理性質, 可參考R.Finn的著作。本篇論文的結論為:(A) 令q＝1, 則存在常數k1、k2,k1＜k2 使得當k (k1,k2)時, 問題?p ?只存在顯明解（trivial solution）。(B) 令q≠1, 則存在常數k3、k4,k3＜k4 只與q 有關使得.(i) 當k＜k3 時, 問題?p ?只有顯明解。(iii) 當k＞k4 時, 問題?p ?有非顯明解且此可表成一單值函數ｕ＝ｕ（ｒ）。