Abstract
我們針對Helmholtz 方程式的特徵值問題在邊界元素法上應用修正牛頓法和奇異值分解, 關於一些特殊的定義域, 我們發展有效的演算法。在圓和橢圓的定義域上我們可利用相關的Helmholtz 矩陣的特殊結構, 求得其對應的最小奇異值和相對的奇異向量, 並且節省了四分之三的計算量。在這篇論文中，我們的目的是要發展出一套演算法，求解非線性特徵值問題，如下：（1.1 ）A（K）F（K）＝0我們稱A（K）為Helmholtz 矩陣, F（K）為其對應的特徵向量。（1.1 ）由Helmhol-tz方程式的邊界元素法上發生。Helmholtz 方程式通常發生於工程問題, 例如: 熱方程式有界薄膜的震動, 波動方程式（擴散理論）等。應用位能論在位能函數及域邊界上做假設, 我們利用邊界元素法, 將（1.1 ）離散化。在這篇論文中, 我們對解（1.1 ）發展一個有效率的演算法, 在, 在這篇論文中,我們對解（1.1 ）發展一個有效率的演算法, 在, 這套方法裡, 主要的架構是利用牛頓法尋找Helmholtz 矩陣最小的奇異值。而在一些較特別的定義域上，這套演算法在效率上更具優點。Kitahara （1985 ）?9 ?及陳鞏（1990）?3 ?分別提出二個演算法解（1.1 ）,我們將在第四節詳細討論。以下二個問題為等價:（q1）解（1.1 ）式（q2）解A（K）最小的奇異值為0,設F(k)為其對應之向量。若存在一個k 使得A(k)之最小奇異值為0,設F（K）為其對應之奇異向量, 如此, （K,F ）之解, 我們考慮將其視為一非線性方程式。第二節中, 我們介紹Helmholtz 方程式的離散化和對應的Helmholtz 矩陣, 為求Hel-mholtz方程式之最小特徵值的零根, 第三節中我們發展一套修正的牛頓法, 除此之外, 在第四節我們將有一些數值結果及分析。