Abstract
在這篇論文裡, 我們研究在雙扭乘積或單扭乘積黎曼流形上的幾何性質。 一般來說, 在一個固定的拓撲乘積空間上, 要找一個適當的扭乘積度量, 使其滿足某些曲率條件的問題, 最終是被化簡到找線性或非線性微分方程的正解問題。在本文中, 我們主要是在實質的扭乘積流形上, 討論以下問題:一、尋找此類流形是共形平坦的充分與必要條件。二、尋找適當的扭乘積度量,使其具有常數純量曲率。對於問題一, 可以証明:當一個扭乘積度量是共形平坦時, 則其底空間與纖維空間的黎曼度量也必然是共形平坦。 因此, 在前項假設下, 我們找到扭乘積度量是共形平坦的充分與必要條件, 它們是一組偏微分方程式。對於問題二, 我們証明以下結果:(一)對於實質的雙扭乘積度量, 它的純量曲率不可能是常數, 除非它恆等於零。(二)對於底空間具常數純量曲率, 而纖維空間是三維的具有正的常數純量曲率的扭乘積流形, 有無限多個具有常數純量曲率的實質單扭乘積度量。 這項結果與底空間的拉普拉士算子的固有值與固有函數有很密切的關係。 詳細的內容, 請參考正文所述。本文分為三節: 第一節是引言; 第二節裡我們首先計算並寫下扭乘積結構下的各種幾何量的公式---它們主要是底空間與纖維空間上相對應幾何量的關係式。 其次我們討論雙扭乘積結構下, 前述的兩個問題。 第三節裡, 我們將注意力放在單扭乘積結構上, 並且討論前述兩個問題。 它們比雙扭乘積結構有更豐富、更有趣的結果。