Abstract
令 [x,y]=xy-yx. 對一正整數 v,我們定義 [f(x),x]_0=f(x), 及[f(x),x]_v=[[f(x),x]_(v-1),x]. 當一函數 f 在一集合 A 上滿足 [f(x),x]_v=0 的條件時,我們稱 f在 A 上為 "v次交換". 本篇論文延伸 M.Bresar 在 1995 年所得到的結果: R 為一質環, 若 f為 R 映至 R 且在R 上是 v次交換的加性函數,並且 R 的特徵數為 0 或 大於 v, 則 f在 R上為交換函數,即對於 R 中所有的元素,[f(x),x] 皆等於 0. 以下為我們的主要定理: 令 R 為一帶有對合函數的質環,且 R 的特徵數不為 2. 令K 是 R 中所有斜對稱元所成的集合, C 為 R 的擴張中心. 當 R 不滿足八個變數的標準多項式, 若 f為從 K 映至 K 且在 K 上是 v次交換的加性函數, 並且 R 的特徵數為 0 或 R 的特徵數大於 v, 則存在一 C 的元素 a, 及一從 K 映至 C 的加性函數 b, 使 f(x)=ax+b(x). 在我們的證明中,主要是根據對合函數分為兩種情況:(一)第一類對合函數;(二)第二類對合函數. 在(一)中根據 R 是否滿足一廣義多項式而分為兩部份討論,在(二)中我們可將條件簡化為沒有對合函數的情形. 綜合(一)(二)即得到主要定理.Let [x,y]=xy-yx. For a natural number v and a map f, we define[f(x),x]_0=f(x)and [f(x),x]_v=[[f(x),x]_(v-1),x]. f is called v-commuting on a set A if [f(x),x]_v=0 for all x in A. Let R be aprime ring with involution * of char(R) not equal to 2, withskew element K, and extended centroid C. If f is anadditivemap from K into K such that f is v-commuting on K, andchar(R)=0 or char(R)>v,then there exist a in C and an additivemap b from K into C such that f(x)=ax+b(x) for all x in K,except R satisfies the standard polynomial of 8 variables.