Abstract
本文的主要內容是筆者對旋轉曲面上拉普拉斯算子的固有值之 研究，共分為兩大部分：(1)第一固有值的行為研究。 (2)固有函數之節線的相關問題。 令 C(f)={(x,f(x),0) : x is real } 是三維空間中x-y平面上的曲線, S={(x,f(x)cosθ,f(x)sinθ) : x in [0,1], θ in [0,2π]} 則S是位於將C(f)對x軸做旋轉所得的旋轉曲面上的一個帶狀區域◦ 在S上考慮如下的固有值問題: ∆Ψ(x,θ)+λΨ(x,θ)=0 on S, and Ψ(x,θ)=0 on ∂S 在借助分離變數法的計算後可將上式轉換為傳統的Sturm-Liouville 方程式,之後經由在第二節之中所提的三種變數轉換,可獲得一些有 關S上拉普拉斯算子的第一固有值的行為◦ 在第二節中我們先提出一個第一固有值λ(1)的上界,令S 為曲線 C(f)在[0,1]中的長度, A是S的面積,則λ(1)滿足如下的不等式: λ(1)<A^2/{4S^4[inf{f(x) : x in [0,1]}]^2} 另外,當S的面積A固定時,如果S是一個錐檯形狀的曲面,且f(x)= mx+b,m>0且b為非負實數,若視λ為b及m的函數,則λ (m,b)是 m,b的遞增函數◦若C(f)的長度固定,且f(x)是一個凹函數,則當S是 一個圓柱表面時λ(1)有最大值◦ 在本文的最後一節,藉由固有函數的節線行為,我們得出一個從 f(x)的性質判別第二固有值重數的方法◦如果f(x)滿足如下條件: 令ε(f)=[inf{f(x) : x in [0,2π]}]/[sup{f(x) : x in [0,2π]}] 如果 ε(f)>2sup{f(x) : x in [0,2π]}/{4+[sup{f(x) : x in [0,2π]}]^2}^(1/2) 則第二固有值λ(2)之重數為一◦ 另外由絃振動的反面節點理論,以及固有函數的節線分布狀態, 在本文的最後我們發展出旋轉曲面上的"反面節線理論"◦同時我們 也得出由固有值以及節線的位置,回算S的形狀的公式◦