Abstract
有限模的模型在流體力學的領域已經被廣汎的研究, 在本篇論文之中, 我們將有限模的方法運用在三個方程式上: 尤拉方程式, 阻尼尤拉方程式 及Navier-Stokez 方程式. 其主要的原理是將方程式的解展開成Spec- tral expansion. 在這三個方程式中, 我們會得到一個無窮級數. 為了簡 化及得到精確解, 必需要截去高階的模, 留下低階的模, 如此將會獲得一 組有限維的常微分方程, 進而我們分析該常微分方程.在第二節中, 我們 利用有限模的方法將解展成球面諧合的級數, 截去三階以上的模, 再將該 展開式代入方程式之中, 則分別可得到三組八維的常微分方程式.這三組 方程皆為二階的非線性常微分方程. 從微分方程的理論可以得到全域解. 在第三節中, 我們嘗試找出平衡點並分析其穩定性. 我們發現對於阻尼尤 拉方程的模型及Navier-Stokes 方程的模型, 其平衡點皆為穩定. 這與我 們對於阻尼及黏滯的性質的了解相符合. 但是在尤拉方程的模型理則無法 得到對所有平衡點的穩定性與否. 其問題來自於解常微分方程所必需遇到 的困難.我們考慮低頻模型的原因, 一方面除了希望描述解在低頻空間的 行為, 另一方面也由於當所取的模變大時, 所得到的常微分系統之維度 亦將變龐大, 分析起來相當複雜且困難. 因此在高階的模型時, 我們希望 能有更好的理論及工具來處理.