Abstract
在這篇報告,主要研究有限特徵大域函數體上的橢圓曲線,也就是三次平滑曲線.我們將致力於決定 Fp(t)上的橢圓曲線的所有有理解集,利用切線割線法,在此集定義一群結構,此群為 Mordell-Weil 群. 主要參考資料來自 Silverman 的教科書 " The Arithmetic of Elliptic Curves "[AEC] 和 Kramer 的論文.首先,在大域體上,橢圓曲線的撓群是很容易處理,這一撓群影響我們在遞降時使用不同的上同調理論.故依橢圓曲線是否有全部的 2-撓群,一半 2-撓群和沒有 2-撓群來展開我們的探討.我們首先使用伽羅瓦上同調和二次遞降算出二個例子的弱 Mordell-Weil 群,即E(K)/2E(K),這裡 E 是大域體 K 上的橢圓曲線.定義主齊次空間來研究有理性,並再次用伽羅瓦上同調定義 Selmer 和 Shafarevich-Tate 群,再利用二次遞降算出一個例子的弱 Mordell-Weil 群.至於第四章,我們參考Kramer 的論文,考慮特徵為二的體上的橢圓曲線,具體描述 Frobenius和 Verschiebung 映射,並討論二者的遞降.在局域時,定義 Artin-Schreier 對偶, 最重要的是,給予一法則,來決定此時 Selmer 群的結構 .在大域體時,於第一和第二 Selmer 群的商上,定義一非退化的自對偶.利用遞降和 Selmer 群的結構,我們算出一個例子的弱 Mordell-Weil群.更進一步,在附錄 1.2 節,我們再仔細探討 Silverman書上利用"高"來証明大域體上的橢圓曲線是有限生成的方法來說明如果弱 Mordell-Weil群算出來的話,我們有一個法則求出所有的有理解,也就是決定 Mordell-Weil 群.In this thesis,we study the elliptic curves over globalfunction fields with characteristic p>0. The report will bedevoted to determine the complete set of rational solutions ofelliptic curves over Fp(t). Most of our report is based on thetext " The Arithmetic od Elliptic Curves "[AEC] and the workdone by Kramer and Voloch.