Abstract
1989年秋，三組科學家發現小於或等於一維的弦理論(Sting Theory)藉由矩陣模型(matrix models) 在所謂的“雙標度極限”(double scaling limit)下，人們可以超越傳統的微擾理論(perturbative theory) 而得到非微擾的(nonperturbative)結果。由於重力效應來自於世界面(world sheet) ，故又稱為非微擾的二維量子重力論(nonperturbative 2d quantum gravity)。更進一步的研究顯示這個理論與可積層系(integrable hierarchies)、拓樸場論(topological field theory)、w-代數(W-algebra) 及二維黑洞(2d black hole) 等議題息息相關。本文則從可積層系的角度對有限維矩陣模型(matrix models at finite N) 作一系統性的分析，以探討其可積性(integrability) 的起源。我們首先在第二章中回顧晶格重力論(discretized gravity) 的發展，定義晶格重力論的配分函數 (partition function) 及其臨界指數(critical exponent) 。接著在第三章中介紹如何經由矩陣模型的技巧在雙標度極限下獲得非微擾的結果。另外也討論此極限下矩陣模型與可積層系的關係。第四章中我們探討有限維矩陣模型中的可積性。經由一組正交多項式(orthogonal polynomials)，我們證明所有的厄米(hermitian) 矩陣模型皆可視為兩維的 Toda 晶格層系。而矩陣模型的配分函數正是此可積層系的一個τ－函數。章末並給出配分函數的費米子表象 (fermionicrepresentation) 。基於對稱性的考量，有限維矩陣模型必須滿足一組約束方程式(constrained equations) 。我們在第五章中分析這組方程式背後所隱藏的代數結構。第六章則探討將有限維矩陣模型視為受約束可積層系的可能性。第七章則是結論與展望。