Abstract
目前核估計量有兩種較著名的型態，一為 Nadaraya-Watson估計量，其變異數有較佳的表現。另一為 Gasser-Muller估計量，其享有簡單容易解釋的偏量。在此，我們提出二次平滑化估計量，來分享 Nadaraya-Watson估計量的變異數優點和 Gasser-Mul-ler 估計量的偏量優點。另外，這個二次平滑化估計量可以簡單的調整成回歸函數的導數估計量。我們發現，二次平滑估計量有一個漸近常態分布，并且在均方差（mea-n square error）的原則下，不管我們是要估計回歸函數或者回歸函數的導數，二次平滑估計量均優于 Gasser-Muller 估計量。因此 Gasser-Muller 估計量為一不可容受（inadmissible）估計量。為了解決邊界效應，我們利用幾何的投影概念，得到一個擴充資料集的方法。把區間〔0,1〕 上的n 個資料, 擴大成 3n 個資料, 并使得這 3n 個資料均勻的分散在區間〔-1,3〕上。當我們把核估計量作用在這 3n 資料時, 在〔0,1〕 區間上的核估計量, 不會發生邊界效應。當回歸函數有反折點發生時，在分段處理的過程里采用這種擴大資料集的修正方法，可以得到沒有邊界效應并且連續的核估計量。拿這種投影法與其他修正邊界核估計量的方法作比較，除了簡單之外，在模擬分析的例子里，我們可以發現，存在一個平滑參數使得積分均方差（Integrated mean square error）小于其他方法的積分均方差o通常在使用核估計量, 都假設回歸函數為平滑曲線o在此，我們將利用核估計的特性，提出檢定回歸函數是否為平滑曲線的方法，如果回歸曲線有跳點（jump point）發生, 我們利用核估計量來估計跳點的位置和對應的高度, 并且在每有跳點或者存在多個跳點的情形下, 導得這些估計量的強收斂性質和他們的漸近常態分佈o