Abstract
曲面上區域D 面積的第二變份式≧O 時，我們稱D 是穩定區域。Barbosa 和Carmo ，曾針對不同型態的常曲率空間給出穩定性所需的各自條件。本篇論文將其中之一的母空間型態加以推展：三維球→n 維球。以下即為我們所得的結果：定理：令X: M→S (a) ，表曲面M 極小浸入到n 維；曲率為ａ的球。D 為M 上一塊單連通區域，如果∫ (2a-k)＜π,那么D 是穩定區域。我們使用反證法。假設D 不是穩定區域，由面積的第二變分式得出，下面這個式子△f+λ (2a-k)f=O in D'f=O in D'的第一個特徵值λ ≦2。式子裡D'是一塊包含有D'里的區域。另一方面我們證出在 的條件下， 應該大於２。∫ (2a-k)dM＜π的條件下, λ 應該大於2。步驟如下：我們改變測度d =(2a-k)ds 之後，可以得到對新測度之下的高斯曲率^k的估計：^k≦3 。而事先我們已經知道了兩個定理：定理A ：曲面M 的高斯曲率K≦k, M(K )表高斯曲率為K 的常曲率曲面，D 是M 上一塊單連通區域，D 是M(K ) 上的測地圓盤，如果兩者的面積相等，那麼：定理B：S (R)表半徑為R 的二維球。D 是上面一塊單連通區域，D 的面積記為A ，如果：i)A≦2 πR, →λ (D)≧4π/Aii)2πR ≦A ≦4πR →λ (D)≧-2(4πR -A)/AR -所以如果我們選定S (1/3-)上的測度圓盤D ，令它的面積A(D )=∫ (2a-k)dM≦∫ (2a-k)dM＜π由定理（A ）、（B ）便可以很快的看出：2≧λ ≧λ(D )＞ 2我們得到矛盾，至此本定理得證。本篇論文主要運用Laplacian 算子的第一特徵值和定義區域的面積之間的關係。大部份引用自Barbosa 和Carmo 論文上的結果，小部份則加以擴充。我們主要的困難是當餘維數≧２之後，法向量空間由１個以上互相獨立的向量張成。如此一來，要化簡第二變分式和對曲面的第二基本式及其微分做估計就不是那麼直接，簡潔明膫的工作了。