Abstract
在這篇論文裡，我們討論的是關於歐基里德球面上的極小超曲面的高斯映射。我們是利用其位置向量和法向量所決定的平面來定義高斯映射，當然此處的平面都是已被定位。另一方面，我們考慮全體反對稱的二階反變張量的集合，在裡面我們給他一個平常的內積，（則此空間就相當於一個歐基里德空間）。而每一張被定位的二維平面都可被視為，在此空間內有單位長的可分解元素，即每一個被定位的二維平面都位於此空間的單位球面上。因此我們所定義的高斯映射，可看成是由此子流形到某一維度的歐基里德球面上的一個映射。我們的主要結論是：如果n 維流形M 被極小浸入到n+1 維的歐基里德球面上, 且M 本身是愛因斯坦流形, 則其高斯映射會是一個極小映射。證明此主要結果, 我們用到了一個很重要的命題, 此命題就是把一個極小映射給予特徵化, 即利用此映射把n+2 維的歐基里德空間的切叢拉回到M 上, 然後把此映射看成是此叢的一個截面, 算其Laplace 值, 如果我們把此映射記成X,則此命題可敘述如下:X(M)是球面上的極小子流形的充分必要條件是ΔX＋n＝0在證明此命題和主要結果, 我們用的是活動標架法, 且在證明過程中, 我們並不去分別M 和X(M)這兩個空間, 這是因為極小曲面問題, 是一種局部問題, 且浸入映射本身局部上就是一種嵌入, 這樣子能夠大大的單純化我們的證明和敘述。