Abstract
我們提供一個數值方法來解下面這個消失性問題：｛ut(x,t)-uxx(x,t)-1╱[1-u(x,t)]=0, X﹋(-L,L), t﹋(0,T),ux(±L,t)±u(±L,t)=0, t﹋[0,T),u(x,0)=u (x), x﹋[-L,L],其中T＞0,L＞0,而u 在?-L,L?上的值 [0,1),並滿足: u x（±L）±u(±L)=0。先介紹如何利用Crank-Nicolsoncollocation 法, 包括怎樣選取格子點和collocati-on點, 以及解空間的一組基底。格子距採取均分。若Δx 表示空間格子距, Δt 表示時間上的格子距, 令Δt＝(Δx) 。collocation點取為Gaussian點。並利用Hermite內插公式求基底。因為引進基底的關係，由此法可得一組非線性方程式。其次，證明若u 是真正的解, u 在?0,1?×?0,T?中不會消失, 而u 是由Crank-N-icolsoncollcocation 法所求的解, 則只要Δt 夠小, 存在正的常數C,C,C, 使得Max｛｜u(x,jΔt)-u(x,jΔt)｜ : x﹋?-L,L?｝C (Δy) + C (Δy) ｛?1+C (Δy) ? -1｝。 也就是在解u(x,t)未消失前, 此法的確可以有效的估計u（x,t）, 而且誤差的大小是(X方向格子距) 的常數倍, 其中常數與U(x,t)的導數及j 有關。故觀察U 有漸增至1 的傾向, U 必然也是如此, 於是產生消失的現象。若U 有收斂傾向, 則U 也是。接著, 我們採用牛頓法, 將Crank-Nicolson collocation法中的非線性方程式轉成線性方程式。再使用高斯消去法（Gauss elimination with partial pivoting ）解線性方程式。首先使用高斯消去法（Gauss elimination with partial pivoting ）解線性方程式。首先詳述各法是否可行, 其次考慮實際程式該探討的細節。比方：疊代法（iterative method）的停止條件（stopping criteria ）;U是否消失; 以及因U和U 的誤差將隨j 增加而變大, 何時該停止執行程式?利用我們的數值方法可求問題的近似解。理論上已知, 若變動問題中的參數L 和U,將影響其解U（x,t）是否消失。例如: 當U ≡0 時, 存在L ＞0,使得 L＞L,u(x,t)必會消失, 而 L＜L, 不論T 取多大, U(x,t)恆存在且必收斂到某一函數。我們可憑著變動程式中的L 大小，觀察計算解的收斂或消失情形，對L 之值作估計。由數值結果可知, L 0.232。 求此數值結果所使用的程式並附綠於後。此程式是用Turbo C2.0 寫成, 所使用的IBM PC-AT 電腦其CPU 型別為30386。