Abstract
在這篇文章, 我們主要是研究在無界區域上半線性橢圓方程式(semiline- ar elliptic equation) 解的存在性. 如果區域是有界, 我們可以用緊緻定理( embedding theorem) 証明半線性橢圓方程式有解, 如果區域是球對稱, 我們可以用常微分方程証明半線性橢圓方程式有對稱解, 如果區域都不是上面這二種情況,則半線性橢圓方程式解的存在與否,確實是很困難, 因為沒有升麼技巧與方法可以利用, 因此本篇文章的目的主要是研究一些技巧與方法以便求得半線性橢圓方程式在無界區域上的解.首先考慮週期區域( periodic domain),我們利用Lions 的一些技巧與方法証得全緊緻定理(global compactness theorem), 然後利用全緊緻定理証得半線性橢圓方程式在週期區域有極小解, 接著利用上面的結果証明一些更複雜的區域也有極小解, 我們叫它為擾動週期區域(perturbed perio- dic domain).不見得每一個無界區域半線性橢圓方程式皆有極小解, 例如外區域( exterier domain), 半平面等, 因此就無法用上面的技巧與方法求解. 接著我們考慮外區域的情形, 換言之, 在歐式空間, 扣掉一條圓柱 (cylinder)這是推廣Bahri-Li,Benci-Cerami,Lions 的結果. 首先建立一個全緊緻定理( global compactnesstheorem), 這個定理的証明確實是很困難, 証明過程中用了許多Lions的一些技巧與方法, 接著建立一個特別函數以便能做能階估計( energyestimate), 設法去求得一個介於二個阻擋之間的值c, 我們利用全緊緻定理( global compactness theorem)証明c 是滿足Palas-Smalecondition,接著利用度論( degree theary),變形法( deformationlemma), 假如半線性橢圓方程式在外區域上無正解,則將導出矛盾, 因而証明半線性橢圓方程式在外區域上有正解, 值得注意的事, 若証明半線性橢圓方程式在外區域上有正解, 我們必須提高能階的方法, 就是利用min-max 的方法, 它的目的就是要建立一個介於二個阻擋之間的值c, 以便利用變形法( deformation lemma).