Abstract
本篇論文中主要研究一些在無窮錐形區域上的半線性橢圓方程式，首先證明在無窮扇形區域上，方程△u+f(u)=0，Neumann 邊界條件，f 為一次徽分連續函數之解必為球對稱，第二部分再證明在無窮錐形區域上方程△u+f(x,u)=0的解的一些存在與不存在的結果。在1979年，Gidas，Ni，Nirenberg利用超平面移動的方法以及極大值法則發表了他們有名的一篇論文：在球上考慮方程式△u+f(u)=0，Dirichlet 邊界條件，則其解必為球對稱。隨后，在1981年，他們又將此一結果推廣到Rn，N≧3，使用的方法仍為超平面移動法加上對在Rn上拉普拉斯算子的Green 函數的解析。1989年Berestycki與Pac-ella將在球上的結果推廣到有限扇形區域上。他們證明了△u+f(u)=0，混合形邊界條件的解在扇形區域上必為球對稱。其方法為使用超平面移動法加上特殊的極大值法則。我們的第一部分結論即是將此結果推廣到無窮扇形區域。因為在這種區域上Green函數形式的特別，使得我們必需要另外估計Green 函數及其梯度，也增加了不少計算上的繁雜。一般而言，在錐形區域上對非線性橢圓方程式的了解并不多，所以在第二部分我們就兩個徽分方程：△u-u+︱x︱σup=0，Dirichlet邊界條件與△u-u+up=0，Neumann 邊界條件解的存在性做了一個初步的探討。