Abstract
對於從預測的觀點來選擇時間序列模型，文獻上（ 如 Akaike（1970 ）、Shibata（ 1980 ））的討論方向大多著重在：以觀察值選得的模型應用在另一組獨立同態的時間序列上時，對它下一步的預測誤差最小；然而往往對觀察值本身下一步的預測才是我們關心的重點，但似未見文獻上對此有所討論。 本文主要的內容是討論無窮階自迴歸過程的模型選取問題。假設觀察值來自此一過程，我們該如何選擇一個有限階數的自迴歸模型，使得這個模型在預測序列本身的下一步時具備某種意義下的最佳性﹖ 為了回答這個問題，在第三章裡我們探討了高維度樣本共變異矩陣及反矩陣的範數之動差，並且給出它們有上界的充份條件。利用此一結果得出了序列本身一步預測均方差之漸近下界，並定義了何謂漸近有效性的選模規則。 第四章則證明了當真正模型不退化成一有限階數的AR 過程時，用 AIC 、FPE 、Cp 等準則選模滿足第三章定義的漸近有效性。這裡較特殊之處在於，用上述方法選模時並不使用最後少數（資料總數的平方根）資料。而當真正模型可能退化成有限階數的 AR 過程時，我們提出了一種兩階段的選模規則，並且證明了在一定的條件下這種規則具備了選模的漸近有效性，而這個選模規則可適用於真模是一穩定 ARMA 過程時。 在第四章裡所提到的的選模規則都未使用最後少數資料，值得研究的是，如果用全部的資料來選模，其預測均方差究竟為何？第五章中的一些模擬研究顯示了，以 AIC選模時使用全部的資料或少用最後少數資料，它們的預測均方差無顯著差別。進一步地，本章在一定的條件下證明了以AIC 、Cp、FPE 等選模時，使用全部的資料或不使用最後少數資料其預測均方差有相同的二階漸近計算值，因此與模擬結果是相符的。最後並附帶證明了用 BIC選模在預測序列本身的下一步時不具有漸近有效性。 第六章討論的是自迴歸模型兩種不同的多步預測方法；一種是先用最小平方法求得一步預測的結果，然後再利用遞迴的方式得到多步的預測。另一種則是將最小平方法直接用在多步的預測。我們證明了當所猜測的模型是正確的時候，前者預測均方差的第二階漸近計算值較後者為小，而當所選模型之階數小於真模之階數時，在大多數的情況下，後者的預測均方差在第一階的比較上就優於前者。