Abstract
本論文的主要目的是發展出一套稱為積分法則(integration scheme)的數值方法，提供給習於使用有限差分架構的研究者來處理固體力學的計算問題，並直接將熱傳的現象與力學的計算以一套相容的數值方法加以統一計算。在計算力學的領域中, 對於固體力學的計算大多使用有限元素法(Finite Element Method,FEM)或邊界元素法(Boundary Element Method, BEM)，而對於計算流體力學常採用有限差分法(Finite Difference Method, FDM)的架構。近年來，由於需要同時研究有關於熱流及固力之間的交互作用現象，因此有許多研究者嘗試統合計算數值方法。有限元素法避開直接處理統御方程式的困難，而是間接地利用形狀函數以及泛函極值的方法求得近似的解。其優點為可以任意地切割計算區域並且容易處理邊界。有限元素法所造成的矩陣具有對稱的結構(symmetry matrix)，但往往會因為帶寬(bandwidth)過大而使計算的資源要求較高，而利用特別的算則來減少因帶寬因素所佔據的記憶體空間則會需要額外的運算時間。所以自1980年後邊界元素法或邊界積分法(BIM)基於減少計算量及增加準確度的需求而被提出，前人也對此法進行了大量的計算研究(Fenner, 1983; Mukherjee 與Morjaria, 1984; Ghosh與Mukherjee, 1984; Sladek et al., 1990; Sladek 與Sladek, 1995)。但是BEM法的數學推導的過程較為複雜、對需要大量內部點資訊的問題不能夠突顯其邊界積分式的優點以及矩陣為不對稱的全滿矩陣(full matrix)。基本上有限差分法直接處理統御方程組(governing equations)，離散化後的矩陣結構簡單及易於程式化是其優點，但對於固體力學的問題而言，由於邊界條件的形式比熱流問題所牽涉到的偏微分形式更為複雜而不易直接使用傳統消去虛擬點的方法，使其自1960年代後漸為FEM與BEM取代。然而自90年後，基於計算熱流學中FDM架構的廣為使用以及獲得許多計算上的經驗，漸有學者開始重新探討應用FDM於固體力學的計算，如Dow et al.(1990, 1992)，Demirdzic與 Muzaferija (1993,1994)，Bailey與Cross(1995)，Wheel (1997)等。因此本文所推導積分法則的基本形式，是利用FDM架構將統御方程式內具有物理意義的項直接處理以減少離散誤差，而不同於FVM以及傳統的泰勒展式型的FDM，本文所發展的積分法則直接利用應力在控制點連續的觀念，並嘗試類比熱流中建構一維Burger方程的局部解析解的方法來建立彈性體的FDM方程，且對於應力邊界條件化為位移差分的疊代形式來處理。利用疊代進行矩陣求解的優點是程序設計簡單、儲存量小、可解線性或非線性問題。本文不但敘述發展積分法則的目的後，也對於積分法則的理論推導及邊界條件的處理做一說明，並對於不同外力狀態，邊界條件下以及跨物性處理的準確度進行驗證，此外對於雙材質界面及其內部的應力現象本文使用積分法則分別和Tasi與Morton(1991)的FEM結果及Blech與Kantor(1984)的結果進行比較。最後本文也以模擬一鋁/鋼套合系統隨時間冷卻時的暫態變化過程為例，對於這種問題的分析提供一簡單與合理的分析算則，以提供對於業界中固化冷卻後或元件之間間隙產生問題的解決方向，並指出FDM架構在處理這類問題的優點。最後本文成功地證明所推導出的積分法則精確度高，記憶體需求較一般的的FEM及BEM少，所擁有的FDM的架構易於與現行熱流計算中已有的架構統合，且易於處理熱固交互作用問題。導出的權重係數具有直接的物理意義，且在固體力學及計算熱流學中有相對應的類比關係。積分形式可以允許區間存有不連續性質的特性對於邁向單區解法更進一步。對於銅/鋼雙材質均勻冷卻問題，本文有觀察到界面區域為保持力平衡的條件而產生應力迴轉現象，這與Tasi與Morton(1991)的FEM結果及Post et.al(1994)的實驗現象相符。且因積分法則是直接將邊界的應力值引入積分之中，因此在計算上能夠簡單且直接表示邊界條件。對於Aleck問題，本文認為對於角點的邊界條件不應該同時滿足固定位移及自由表面的條件。Blech與kantor(1984)利用Kantorovich變分法所得到的特徵方程因為是要求滿足一邊對稱一邊為無應力狀態的條件，因此並不適用於底部的固定面。經由積分法則所展現的良好收斂性輔以網格精細化的過程，可以證明本文計算結果的正確性，進而發現當 時應用Blech-Kantor變分解的結果在預測內部的應力時就會有相當明顯的誤差，而當 增加時此差異就會更大。在對於鋁/鋼套合冷卻問題的計算過程中，本文展示了使用積分法則來計算熱彈性變形，界面熱傳及非完美接觸現象之間的耦合(coupling)問題，並且也考慮到熱整流效應。界面上的間隙與應力可由位移場得到，界面熱阻則可由所得的間隙與正向應力來估計，進而影響溫度場的演化過程。在本文的環境下，間隙會產生於右方冷卻端的各個界面上，因此會造成界面上溫度的不連續現象，此外也可看到正向應力會在間隙生成的位置消失。本文顯示出鋁件追上鋼塊後因為熱傳路徑改變而導致間隙位置改變的戲劇性變化，這些計算結果均符合物理意義。積分法則可以簡單與直接的以物性不連續性質的方式來處理套合問題，並清楚的描述了間隙生成與溫度分佈改變的過程。這些現象在之前的文獻中並沒有加以描述與交代。本章的模擬可以實際反映出這類實際工業界上可能遭遇的問題中所必須要考慮到的計算關鍵如溫度的變化、應力的分佈與破壞、，間隙的生成閉合、界面熱阻的改變以及這幾者之間的交互變化。