Abstract
壹、問題陳述：本篇論文討論的主要問題是考慮曲面上薄膜振動方程式第一個固有值的問題。在特殊曲面 (本文僅討論單位球面和特殊旋轉曲面), 特殊條件下, 第一個固有值的一些行為. 這些條件如下:(1) 薄膜振動的區域限制是環帶狀區域.(2) 這些環帶狀區域需具有相同面積.我們想問: 在固定面積下, 區域改變時, 第一個固有值會有什么樣的變化.貳、使用方法：我們主要考慮在單位球面的問題。在原始的問題之中，由於其方程式的定義域不相同，極難對第一個固有值做比較。但是由於他們的面積都是一樣的。我們做一個變數轉換，即以面積做參數。於是原問題轉化成比較具有相同定義域方程式族的第一個固有值問題。這樣的轉換使原問題簡化了不少。另外由於我們能夠證明第一個固有向量僅與緯度有關，原方程更簡化成一個Legendre型式的常微分方程. 適當選取測試函數和面積, 可使問題簡化.參、主要結果：由於方法的限制，在球面我們選給定面積為2π ，於是我們得到(1) 第一個固有值在環帶狀區域對稱赤道時具有最大值.(2) 將第一個固有值當成環帶狀區域的函數, 它是一次可微連續函數.(3) 第一個固有值在區域從極點往赤道移動一直到對稱赤道為止是一個嚴格遞增函數.在特殊旋轉曲面上, 仿效上面使用的方法, 我們也得到了一些初步的結果.