Abstract
在球面上求偏微分方程數值解，常因球面座標本身的特性而不能用一般歐 氏空間的方法得到準確的答案。這是由於經度在極點上是多值函數，所以 任何一個球面上的光滑向量場，也會因此使得它在經╱緯方向的分量成為 不連續的函數。於是如果在數值方法中需要準確地估計它們在極點附近的 微分，就必須使用更密集的格點(grid points)和更小的時階(time steps)，由這特性所衍生出來的數值計算上的困難統稱為「極點問題」( pole problems)。在現行的球面淺水方程式數值解中，解決極點問題的方 法是純量式譜析法，它將速度場乘以緯度的餘弦值作為一組新的變數，由 於這樣的變數在極點必然為零，故在極點為連續，再將淺水波方程式全部 改寫成新變數的形式（ [3]）。然而這樣的新變數只具備了C^0的性質， 其富氏級數之收歛速度不可能因此改善太多，更遑論能有譜析法快速收歛 的優點。但這個作法其實並無必要。我們將在此文中指出此一誤解，並以 向量式譜析法導出自然的譜析方法。向量式譜析法(vector spectral method)的觀點是直接對速度場作富氏分析，再用之求出散度和旋度。這 個方法根據的是球面上向量函數的Helmholtz分解定理。因為我們未計算 經、緯方向的分量和其微分的譜析展開，自然也就不需考慮在極點的不連 續問題。向量式譜析法和純量式譜析法所導出的數值計算公式其實幾無差 異，不同點只在於後者使用的是乘過緯度的餘弦值的方程式，然而這個方 法之所以能快速且穩定地收歛，實在是由於向量式譜析法已經自然地避開 了極點問題，而非在純量式譜析法中引入了新變數之功。在球面平流方程 式測試中顯示，即使速度場的分量在極點為多值，向量式譜析法也不會因 此失去富氏級數收歛的特性。我們也用波數為六的Rossby波在球面淺水方 程中分別測試了 T21 和 T42二種格點密度，都顯示出 Rossby波保持了它 的波形且能量極少流失到散度模式。