Abstract
在這篇論文理，我們將使用機率的方法，來研究在無界領域 G中，Schr dinger 方程的 Neumann問題 N(G，q，ψ)：? ｜(1/2△+q(x))u(x)=0，x G，( u)/( nx)=ψ，x G，其中( u)/( nx)：表示在邊界外法線方向的徽分。我們想藉由G 中的反彈布朗運動 (Xt)t 0 及其局部時間 (Lt)t 0 的特性，提供構造 N(G，q，ψ)解的另一種方法。我們有下列結果：定理一：如果 q=q1-q2，q1，q2 0， 且滿足：? lim t→0 sup x Ex∫t 0q1(Xs)ds=0，? q2(x)?c｜x｜α，當 ｜x｜很大，其中 c，α＞0，? ψ L∞，? Ex∫∞0e(t)L(dt)＜∞，則 u(x)=1/2Ex∫∞0e(t)ψ(Xt)L(dt) 為 N(G，q，ψ)的一個連續弱解。在這些條件下，我們亦可證明下列規範定理 (gauge theorem)：定理二：假設 ?，?，? 成立，而且 ψ＞0，ψ L2，如果有一x G，使得 G(x)=Ex∫∞0e(t)ψ(Xt)L(dt)＜∞，則對所有 x ，G(x)＜∞。經由規範定理，可證明 N(G，q，ψ)解的唯一性。此外，我們證明另一個特例：定理三：如果 ?，?，? 成立且 q1，q2 L∞，則定理二的結果也對。定理四：如果定理二或定理三的條件成立，則解是唯一的。