Abstract
在大學裡所學到的複變函數論中，我們可以用留數來計算一些積分的問題，也比較簡單。而考慮在複流形上，一個可微的閉形式在此流形上的可解析子集合有奇異點，此形式在與其奇異集不相交的閉下鏈上的積分時，我們也有高維度的留數定理來幫助簡化計算。本論文首先介紹Leray 的留數定理，此為單複變函數論裡留數定理的推廣。我們建立上邊緣閉下鏈、留數形式、留數類等的概念。我們將看出：在一維複平面上，所謂一個函數的留數形式，即為其原來的留數，不過是定義在其奇異點上的常數函數，此常數就是其留數；若兩解析函數在某一點的冪級數展開式中，負一次項的係數相同，則屬於同一留數類；而上邊緣閉下鏈其實就是簡單封閉路徑，其像為一半徑足夠小的圓的邊界。利用Leray 的留數定理，我們可以降低積分的維度。若考慮在複二維平面上的有理形式的積分，對於某些閉下鏈，我們可降成一維複平面的積分問題，則此即熟悉的留數問題。但是，對於一般的閉下鏈，我們從Stoke 定理知道，可以選擇與其下同調的一群閉下鏈的和，這些閉鏈為複二維平面差集奇異子集的二維下同調群的基底。對偶定理告訴我們可以計算奇異子集的一維下同調群的維數來決定我們所要的基底的個數，要計算此維數，則要知道這子集的拓樸，虧格公式給了我們一些訊息。由上述的討論，我們實際計算了一些例子，來了解留數定理是如何應用的。