Abstract
在本篇論文中，我們主要是研究紐因曼問題在Ω上的解的存在性，其中Ω是包涵於Ｒ的Ｎ次方上的一個無界域。此方程已經由 Esteban證明出如果Ω的宇集合是一個Ｒ的Ｎ次方上及高斯的散度定理，將方程以某個在Ω下的能階函數的積分形式表現出來，而此函數的臨界點就是我們所希望得到的值。在第二節的部份，我們主要引進一些著明的結果與方法以做為我們得到結論的預備知識。這些知識主要包括著明的 GNN 定理-方程在全空間Ｒ的Ｎ次方上會有正解存在，且此正解對於全空間上的某一點作輻射對稱；且此解會指數遞減於零當對於此點的徑向座標趨近於無限大時；也就是說此解在徑向座標方向上的導數小於零。其次我們利用ＬＩＯＮ所發展出來的集中緊緻的方法，引進了所謂的集中函數而得到了這個結果﹕在平移不變性的原理之下，每一個Ｉ(Ω)的極小化序列在Ｓobolev空間都會是相對緊緻的充要條件是Ｉ(Ω)小於Ｉ。此外如果這個式子成立則可以得到Ｉ(Ω)的一個極小元。其中Ｉ(Ω)是表示函數在Ω下積分之極小值；而Ｉ表是函數在全空間積分的極小值。最後在第三節的部份，我們主要利用全空間Ｒ的Ｎ次方扣掉Ω之後再做第一個分量方向的平移來建造兩個數列。利用此兩個數列，我們証明了一些相關的式子，在經由前面的結果；我們得到了極小元。最後再利用拉格朗日的乘算子原理，我們可以得到我們的結論--此方程有解。