Abstract
近數十年來，無母數迴歸在數理統計界的發展十分令人側目，舉凡它的方 法、理論及各領域上的應用，常見於各類期刊，顯然已自成一領域。它的 方法甚為直觀，只不過將解釋變數附近點的應變數之值作一加權平均，作 為該處應變數之估計值，因而是一項平滑化的工程。權數之選取及『附近 點』之定義是本工程的關鍵。這方面的研究成果，早年有 Nadaraya (1964) 和 Watson (1964)及Gasser and Muller (1979)等提出方法，近 年來，學者們探討各方面之特性，並將之改進。重要的成果包括Hall (1990)，Chu and Marron (1991)，Wu and Chu (1992)等。唯任何迴歸法 ，皆對其中誤差項作了平均值為0且變異數為常數的假設。這項假設在某 些問題上，是不可能成立的。例如有一數據，包括D個代表比例的非負元 素，y=(y1,...,yD)， y1+...+yD=1限制，使得yj，j=1,...,D，作為應變 數，而欲探討其解釋變數之關係時，接近0或1的y值伴隨的誤差項之變異 數，必然較小。此類數據，稱之為組合數據，在自然間甚為常見，但其特 性與一般假設之常態分布頗不相同，是異於普通常態假設的，故亦值得特 別探討，在這方面Aitchison (1986)和Aitchison and Shen (1984)有深 入的研究。本論文之主旨，便是要探討當應變數為組合資料時，無母數迴 歸在估計上的一些缺失，並提出對數比轉換核估計法，而此種修正法較之 傳統方法更具合理的解釋。本論文各章節的安排如下：在第二章文獻回顧 中，將介紹無母數迴歸法及其準確度和組合資料的性質。在第三章中，我 們提出在D=2時，對數比轉換核估計法及其性質。第四章中，我們將對數 比轉換核估計法推廣到高維的情況。在三、四章中，我們亦以模擬法將轉 換後的核估計量與傳統核估計量作一比較。在五章，我們將以一實例來說 明對數比轉換核估計法在實際上的應用。最後一章，我們將作一討論並總 結。