Abstract
本文考慮解廣義LYAPUNOV矩陣方程 ｛ ＡＸ－ＹＢ＝Ｒ ＣＸ－ＹＤ＝Ｓ主要內容分為兩部分：一、討論此矩陣方程組解的存在性與唯一性：假設(A,C).(B,D) 是正規矩陣束，利用正規矩陣束的標準形式：定理：（正規矩陣束的標準形式）每一個正規矩陣束(A,B) 都可化成一等價的標準擬對角形式(DIAG(I.J).DIAG(N,I))=(A1,B1).在此Ⅰ為單位矩陣，Ｊ為約旦（JORDAN）矩陣，Ｎ為冪零約旦矩陣。把此矩陣方程組消成Ａ１×Ｄ１－Ｃ１×Ｂ１＝Ｑ。再利用 KRONECKER積。將Ａ１×Ｄ１－Ｃ１×Ｂ１＝Ｑ轉換成等價的矩陣一向量方程式ＧＸ＝Ｃ。此時Ｇ＝Ｄ１☉Ａ１－Ｂ１☉Ｃ１。我們針對ＧＸ＝Ｃ去討論，得唯一性定理。定理：假設(A,C),(B,D) 是正規的矩陣束，則廣義LYAPUNOV矩陣方程有唯一解的充分必要條件為(A,C) 與(B,D) 的廣義特徵值相異。二、敘述一求解此方程組的平行算法。此法主要是利用JACOBI-LIKE 的計算方法，把(A,C),(B,D) 分別化成廣義的上三角形式。對於非正則的矩陣。這種方法收斂很慢。我們提出平衡的技巧和直接法來加快JACOBI-LIKE 法的收斂速度。直接法很好，但若JACOBI-LIKE 法不收斂，則直接法就無法派上用場。唯然我們不知道直接法的收斂區間，但我們提出平衡的技巧，使JACOBI-LIKE 的收斂行為良許多，使直接法能被用來加速。此法的確改進了JACOBI-LIKE 法。所以在每次疊代之前。利用平衡的技巧把矩陣的範數變小。當JACOBI-LIKE 法做到使(A,C),(B,D)的下三角元素夠小時，用直接法來加速收斂。當A. B. C. D 幾乎都成上三角形式時，X,Y 就可平行算出。此法在平行計算器上所花的時間和矩陣的秩成正比。