Abstract
一般三維常微分方程式, 周期解的存在性很難認定。本篇探討競爭系統:X＝F（X）,X﹋Rx1 ＝x1(1-x1-a1x2-β1x3)x2 ＝x2(1-β2x1-x2-a2x3) (*)x3 ＝x3(1-a3x1-β3x2-x3)0＜ai＜1＜βj i,j＝1,2,3.是否有周期解, 得到以下結論:(i).內均衡點P 必存在。(ii). 在P 附近作線性穩定性分析, 得知-1為DF(p) 的特徵值, p 為DF 對應於-1的徵向量。(iii).DF 的另兩個特徵值的實部為 (1-(p1＋p2＋p3)),P＝(p1,p2,p3), 虛部恆存在。(iV). 經由電腦算出的結果得知, 當P1＋P2＋P3＝1 時, 亦即（β1-1）（β2-1）（β3-1）＝（1-α1）（1-α2）（1-α3）,（*）會有周期解。(V).若α1＋β2＝2,α2＋β3＝2,α3＋β1＝2,則所有解均收斂至X1＋X2＋x3＝1 的平面上的周期解。(vi). 由Hopf-Bifurcation定理, 知道有limit cycles存在。(vii).找到與(*) 相關的方程式, 在(V) 情形下, 解收斂至X ＋X ＋X ＝1 的曲面上的周期解。本篇係May-Leonard 結果的推廣, 由兩個參數擴充為六個參數。留下一個未解決的問題, 即(iv)成立若且唯若(*) 有周期解。