Abstract
第一節 簡介有限維變分不等式問題（簡稱VI(K,F），是近幾年才發展快速的學問，在經濟、工程....方面都有許多實際的應用，所謂VI(K,F) ，就是給定一個 □中的子集Ｋ和Ｆ的映射，尋找Ｋ中的向量χ□，滿足 tＦ(χ□) (χ□－ｙ) ＜ ０， ｙ Ｋ ▔這篇論文將探討解VI(K,F) 的各種迭代法的局部和全域收斂性。主要是投影法 (projection) 、牛頓(Newton)及線性Jacobi等線性逼近法。其主要架構是建立一組在Ｋ中的向量序列｛χ□｝，使得每個χn+1 是藉著解某個線性子問題VI(K,F□)而形成，其中Ｆ□(χ)＝Ｆ(χ□)＋Ａ(χ□)(χ－χ□)就Ａ的選擇方式，可分為兩大類：〔１〕對稱形（Ａt＝Ａ）：這種方法可將VI(K,F□) 的問題轉換成二次規劃的問題，如此一來，有許多套裝的軟體如MINOS 可使用。投影法及線性Jacobi即屬此類，分述如下：＜１＞投影法(A(χ□)＝G)的優點是全域收斂，但是通常情況下收斂緩慢，因此又提出了收斂投影法來改善它。（參考3.1 節）＜２＞線性Jacobi法（A(χ□)＝D(χ□)）可變成可分離二次規劃的問題，卻是一次及局部收斂。（參考3.3 節）〔２〕非對稱形（Ａt≠Ａ）：這類問題較不易解，牛頓法（A(χ□)＝▽F(χ□)）就是屬於此類，但是眾所皆知，二次收斂是牛頓法的優點，不容捨去，因此介紹了對稱牛頓法及GCNM來修正它。牛頓法還有兩個缺點：＜１＞Ｆ在每步的運算量大，所以用quasi 牛頓法修正。＜２＞牛頓法的收斂性是局部的，因此用修正的收斂牛頓法(GCNM及GCMNM) 去改進它。有關牛頓法的問題皆列在第3.2 節中。第二節 符號及定義本節介紹一些基本定義及有關的符號表示法。 （參考英文附錄）第三節 演算法及其收斂定理3.0 基本收斂定理本節收錄了Chan和Pang在1982年提出的收斂定理。 （參考英文附錄）3.1 投影法共分為二小節＜１＞標準投影法：此法的優點為全域收斂，但是僅為一次收斂，收斂較緩慢。＜２＞加速投影法：修正標準投影法收斂緩慢的缺點，是Harker在1988年提出。 （參考英文附錄）3.2 牛頓法共分為五小節＜１＞牛頓法：優點：二次收斂。缺點：（１）非對稱性。（２）VF在每步的運算量大。（３）局部收斂針對以上的缺點有如下的修正。＜２＞對稱牛頓法：雖具有對稱的性質，卻比原牛頓法需要更多的條件且為一次收斂。＜３＞Quasi 牛頓法(QNM) ：Broyden在1973年針對解非線性方程式提出Quasi牛頓法，以修正VF的大運算量且產生superlinear 收斂。我們將它應用到變分不等式，再採用Dafermos的證明架構，重新估計，產生相同的性質。＜４＞全域收斂牛頓法(GCNM)：根據gap 函數的性質及linear search 的概念以修正基本牛頓法，使成為全域收斂，這是Marcotte及Dussault在1987年提出。＜５＞全域收斂修正牛頓法(GCMNM)：將子問題轉化成線性規劃的問題，是Marcotte及Dussault在1989年提出。