Abstract
本篇論文的第一節主要討論二階微分方程的邊界值問題. 首先, 探討有關Sturm Liouville 方程式的固有函數零點分佈的一些性質, 而運用這些性質, 我們對兩組有相同密度分佈的Sturm Liouville 方程式, 我們觀察兩組固有值與固有函數的零點, 而列出兩組位勢函數差的逼近公式. 另外, 對於一般的兩組Sturm Liouville 方程式, 若其固有函數的零點有無限多組相同, 則兩組Sturm Liouville 方程式的密度函數必定線性依, 而且位勢函數的差必定是密度函數成上某個常數. 在第二節中, 主要討論n 個物體由n+1 個等長彈簧連接, 所形成的震動頻率問題.此化成一個 Jacobi 矩陣的固有值問題. 我們將n 個物體質量和固定, 而且每個 物體的質量都限制在一個區間內, 在此類型中的震動中, 我們探討其最大固有值最大時的質量分佈情形. 另外分別還有最小固有值最大與最小時, 質量的分佈情形. 而關於最大固有值最小的情形, 仍然有待解決. 與這種離散弦的振動相對應的, 是關於連續弦的振動. 連續弦第n 個固有值的極值問題, 已在M. G. Krein 的論文[5] 完全解決. 有趣的是, 離散弦和連續弦有些結果雷同, 有些迥異.