Abstract
這篇論文中，Ｘ是佈於ＩＲ（或Ｃ）的巴氏空間，Ｂ（Ｘ）＝｛ｆ：Ｘ→Ｘ︱ｆ是有界的線性函數｝；ψ是餘弦函數，Ａ是它的第二微生成元，Ｄ（Ａ）是Ａ的定義域。這篇論文的主題有二：1.利用P.L.Butzer and H.Berens，”Semigroups of Operators and Approximation”（1967）中的方法來研究對偶餘弦函數ψ＊的性質。下面是這部分的結果：（ａ）Ｘ0＊≡ｘ＊ Ｘ＊︱ｌｔｍ∥ψ＊（ｔ）ｘ＊－ｘ＊∥＝０｝是一巴氏空間。ｔ→０t（ｂ）ψ0＊≡ψ＊︱Ｘ0＊（ψ0＊是考慮ψ＊在Ｘ0＊上的限制）則｛ψ0＊（ｔ）︱０≦ψ＊≦∞｝≦ｂ（Ｘ0＊）是一正則（regular）餘弦函數。令Ａ0＊是｛ψ0＊（ｔ）︱０≦ｔ＜∞｝的第二微生成元，則我們又有下面的結果：（ｃ）（ｉ）Ｄ（Ａ0＊） Ｄ（Ａ0＊） Ｘ0＊；（ｉｉ）Ｘ0＊是Ｄ（Ａ0＊）的強閉包（strongly closure），（ｉｉｉ）Ｄ（Ａ0＊）ａｍｙｏ weakly＊緊緻（dense）於Ｘ＊，（ｄ）Ａ0＊是Ａ＊的所有限制中滿足定義域和值域皆包含於Ｘ0＊中最大的一個。（ｅ）Ａ＊的圖形（graph）＝Ａ0＊的圖形之weakly＊閉包。2.這一部分我們主要在導餘弦函數的表示公形，這□我們分別用：（ｉ）近似理論的方法：（ｉｉ）經由半群函數的表示公式和利用G.F.Webb，”A representation formulafor strongly contrnuous cosine fomilies ”（1980）中的方法，來導得論文中八個餘弦函數的表示公式。