Abstract
在本篇論文中, 我們主要探討一串隨機變數若滿足大數法則,其收斂速度的問題.在第二節當中,隨機變數的矩量生成函數存在且滿足一些條件.隨機變數的weight給一些條件,則我們可以得到指數收斂速度的良好結果.我將有關這方面的文章加以整理比較,得到它們彼此相關,若加以串連發現證明愈來愈簡單,結果愈來愈好.在第三節中,隨機變數的矩量生成函數未必存在,Baum and Katz (1965)得到一獨立且相同分配的隨機變數序列,當其有限次momen的值有限時,和收斂速度的等價關係.Lai(1974)推廣類似的結果到一般的 separable Banach space 中時,雖然結果類似,確在有些情況下會產生問題,他特別提出一個反例.為了使結果更完整,我希望在空間上給一些限制,例如Banach space of type p,結果我發現其結果和p的值有密切的關係,當p值為2時正好是隨機變數取值在實數空間上的結果,而當p值為1時,正好與Lai的結果相符,而我們的結果是p的範圍在1和2之間都成立.事實上,若只考慮單向的必要條件時,隨機變數序列只需要獨立且均勻有界(uniformly bound)被一隨機變數即可,甚至只要平均有界(meanweakly domated)即可.最後,我舉出一反例說明論文中定理的結果是最好的,因為當條件放弱時結論不成立.所以從這篇論文的證明方法當中,我們得到另一個方法可以證明 Baum and Katz 的定理的必要條件,比原來的證明更簡單.