Abstract
假設我們有 n 個觀察值是服從於迴歸模式,我們的主要目的是根據觀察值 估計 m(x),而有關於 m(x) 的形態我們一點也不清楚,於是須要利用無母 數方法去估計。一般的核估計式是其想法為:將在 x 點附近的觀察值 Y 作加權平均,因為 m(x) 在 x 點連續且平滑,所以當帶寬 h 很小時, m( x) 在 x 點的附近可以看做常數,故 Y 是局部 i.i.d r.v.'s服從於 f( y-m(x)) 分配。但是當 m(x) 在 x 點是不連續時,則就沒有局部 i.i.d 的性質,而將那些觀測點所對應的 Y 值分成兩群局部 i.i.d r.v.'s 分 別服從於 f(y-m(x-)) 及 f(y-m(x+))。但是一般的連續迴歸核估計式,還 是統統作加權平均,這樣會造成高估或者低估 m(x)。因此我們提出了一個 估計式用以估計迴歸函數為不連續時之狀況,這個估計式是結合了 M-估計 式以及無母數迴歸之核估計式,利用 M-估計式的穩健性質,去除那些在 (x-h,x+h) 中所對應距離甚遠的 Y 值。有關於 M-形式的估計式, Hardle(1984), Hardle 及 Gasser(1984)曾探討當分數函數是連續且單調 的形式,如max{-k,min{t-y,k}},k>0, Hardle 及 Luckhaus(1984) 證明 它的均勻一致性,以及 Jureckova 和 Sen(1984) 對於線性模式所提出的 M-估計式。他們都是從穩健性的觀點來探討在連續迴歸函數時,如果有偏 離 m(x) 太遠的值,利用分數函數對偏離值的不敏感性質,降低偏離值的影 響。而我們的估計式則是從不連續點的觀點,去除距離甚遠的值。其它有 關於這個估計式的性質,我們將在第二章探討它在 m(x) 為連續時的一致 性。而在第三章我們將討論 m(x)有斷點時的狀況,並提出一種視覺距離的 準則來比較一般連續核估計式與所提出的估計式之性質。最後一章做一些 討論。